http:// tangencias-potencia.blogspot.com/
http://inversas-de-figuras.blogspot.com/
Una circunferencia se transforma en una recta según se incrementa su radio: una recta es una circunferencia de radio infinito.
Una inversión es una simetría axial en la que el eje se transforma en una circunferencia. La simetría axial divide el plano en dos semiplanos y los elementos de uno son inversos del otro; en la inversión hay dos superficies, la comprendida dentro de la circunferencia y la exterior a la misma.
Para calcular el inverso de un punto interno A se hace un segmento OA y se prolonga hasta que corte a la tangente por T, punto de intersección de la circunferencia y la perpendicular a OA por A.
A y A’ son inversos y siempre están alineados con O, que es el centro de inversión. Los puntos inversos de la circunferencia roja son dobles (inversos de sí mismos) por lo que se llama de autoinversión.
Si por B hacemos la tangente a la circunferencia y en el punto N de tangencia la perpendicular a CA tenemos el inverso de B que es B’.
Análogamente el de A es A’ y el inverso del infinito en la dirección CB es el centro C ya que la tangente a la circunferencia por O corta a la línea CB en el infinito.
El inverso del centro de inversión C está por tanto en el infinito.
Para calcular la inversa de una circunferencia amarilla r desde el centro de inversión O y tomando como circunferencia de puntos dobles o de autoinversión C, unimos los dos centros de C y r. Desde la intersección A, B, de r con la línea que une los centros hacemos los inversos de A y B, que son A’ y B’. La nueva circunferencia inversa de I es la roja que tiene por diámetro el segmento A’-B’.
Como la inversión conserva las tangentes, si trazamos dos rectas t, p tangentes a una circunferencia cualquiera (p. ej., r) desde O, se tiene que las rectas t, p también son tangentes a la circunferencia s, por ser inversas una de la otra.
Existe una interpretación espacial para la inversión y sirve para hacer ejercicios de esferas tangentes cuyos centros estén en un mismo plano.
La inversión espacial de centro O y esfera de autoinversión auto transforma la esfera b en a de forma que desde O existe un cono tangente a las dos esferas y se tiene que si desde los vértices M, N, (puntos de la esfera a diametralmente opuestos incidentes en la línea de centros de las esferas y del centro de inversión) se hacen 2 conos respectivamente tangentes a la esfera auto, sus bases son tangentes a la esfera b.
Aquí tenemos casos posibles de figuras inversas con la circunferencia de autoinversión (rellena de color gris): del 1 al 4 observamos la inversa de una recta que es una circunferencia roja que siempre pasa por el centro de inversión excepto si la recta pasa por éste, cuya inversa es entonces la misma recta pero no sus puntos.
Del 5 al 10 observamos la inversa de una circunferencia roja que se transforma en azul. En el caso 11 se transforma en sí misma y en el 9 la azul va hasta el infinito pues su inversa roja pasa por el centro de inversión.
Por regla general una recta se transforma en circunferencia por inversión. En la figura un rectángulo ABCD tiene por inverso a un cuadrilátero A’B’C’D’ cuyos lados son curvos, excepto el lado AB (por pasar por el centro de inversión) que se transforma en la misma recta pero con otros puntos inversos como se ve en la figura.
Una forma de intuir rápidamente las inversas de figuras es pensar en un triángulo rectángulo cuyos extremos de la hipotenusa inciden en la circunferencia inversa y la circunferencia autoinversa. En el momento en que los puntos de la recta m, inversa de m’, salen del interior de la circunferencia autoinversa los puntos se intercambian, la hipotenusa la forman los puntos de la circunferencia autoinversa y los de la recta m.
Según el teorema del cateto, demostrado en la p.:http://figuras-equivalentes.blogspot.com/, el cuadrado rosa y el rectángulo amarillo tienen el mismo área, o lo que es lo mismo, el cateto OA del triángulo verde es a su hipotenusa OB, como el cateto OB del triángulo verde más azul es a su hipotenusa OA’, ya que ambos son proporcionales:
OA/OB = OB/OA’, por tanto OA. OA’= OB. OB = k.
Como vemos A A’ son inversos respecto al centro O y a la circunferencia de autoinversión (de color negra), por lo que en toda inversión se cumple: OA. OA’= OB. OB = k.
Una circunferencia se transforma en una recta según se incrementa su radio: una recta es una circunferencia de radio infinito.
Una inversión es una simetría axial en la que el eje se transforma en una circunferencia. La simetría axial divide el plano en dos semiplanos y los elementos de uno son inversos del otro; en la inversión hay dos superficies, la comprendida dentro de la circunferencia y la exterior a la misma.
Para calcular el inverso de un punto interno A se hace un segmento OA y se prolonga hasta que corte a la tangente por T, punto de intersección de la circunferencia y la perpendicular a OA por A.
A y A’ son inversos y siempre están alineados con O, que es el centro de inversión. Los puntos inversos de la circunferencia roja son dobles (inversos de sí mismos) por lo que se llama de autoinversión.
Si por B hacemos la tangente a la circunferencia y en el punto N de tangencia la perpendicular a CA tenemos el inverso de B que es B’.
Análogamente el de A es A’ y el inverso del infinito en la dirección CB es el centro C ya que la tangente a la circunferencia por O corta a la línea CB en el infinito.
El inverso del centro de inversión C está por tanto en el infinito.
Para calcular la inversa de una circunferencia amarilla r desde el centro de inversión O y tomando como circunferencia de puntos dobles o de autoinversión C, unimos los dos centros de C y r. Desde la intersección A, B, de r con la línea que une los centros hacemos los inversos de A y B, que son A’ y B’. La nueva circunferencia inversa de I es la roja que tiene por diámetro el segmento A’-B’.
Como la inversión conserva las tangentes, si trazamos dos rectas t, p tangentes a una circunferencia cualquiera (p. ej., r) desde O, se tiene que las rectas t, p también son tangentes a la circunferencia s, por ser inversas una de la otra.
Existe una interpretación espacial para la inversión y sirve para hacer ejercicios de esferas tangentes cuyos centros estén en un mismo plano.
La inversión espacial de centro O y esfera de autoinversión auto transforma la esfera b en a de forma que desde O existe un cono tangente a las dos esferas y se tiene que si desde los vértices M, N, (puntos de la esfera a diametralmente opuestos incidentes en la línea de centros de las esferas y del centro de inversión) se hacen 2 conos respectivamente tangentes a la esfera auto, sus bases son tangentes a la esfera b.
Aquí tenemos casos posibles de figuras inversas con la circunferencia de autoinversión (rellena de color gris): del 1 al 4 observamos la inversa de una recta que es una circunferencia roja que siempre pasa por el centro de inversión excepto si la recta pasa por éste, cuya inversa es entonces la misma recta pero no sus puntos.
Del 5 al 10 observamos la inversa de una circunferencia roja que se transforma en azul. En el caso 11 se transforma en sí misma y en el 9 la azul va hasta el infinito pues su inversa roja pasa por el centro de inversión.
Por regla general una recta se transforma en circunferencia por inversión. En la figura un rectángulo ABCD tiene por inverso a un cuadrilátero A’B’C’D’ cuyos lados son curvos, excepto el lado AB (por pasar por el centro de inversión) que se transforma en la misma recta pero con otros puntos inversos como se ve en la figura.
Una forma de intuir rápidamente las inversas de figuras es pensar en un triángulo rectángulo cuyos extremos de la hipotenusa inciden en la circunferencia inversa y la circunferencia autoinversa. En el momento en que los puntos de la recta m, inversa de m’, salen del interior de la circunferencia autoinversa los puntos se intercambian, la hipotenusa la forman los puntos de la circunferencia autoinversa y los de la recta m.
Según el teorema del cateto, demostrado en la p.:http://figuras-equivalentes.blogspot.com/, el cuadrado rosa y el rectángulo amarillo tienen el mismo área, o lo que es lo mismo, el cateto OA del triángulo verde es a su hipotenusa OB, como el cateto OB del triángulo verde más azul es a su hipotenusa OA’, ya que ambos son proporcionales:
OA/OB = OB/OA’, por tanto OA. OA’= OB. OB = k.
Como vemos A A’ son inversos respecto al centro O y a la circunferencia de autoinversión (de color negra), por lo que en toda inversión se cumple: OA. OA’= OB. OB = k.
Ejemplos
Como la inversión conserva las tangencias, las inversas de las tangentes a las inversas de los datos son los elementos tangentes a los datos.
Es por lo que seguimos los siguientes pasos:
1- Escoger un punto de los datos como centro de inversión y cualquier radio para la circunferencia de autoinversión.
2- Hacer las inversas de los datos.
3- Hacer las tangentes comunes a las inversas.
4- Hacer las inversas de las tangentes.
Circunferencia tangente a otras dos y que pase por un punto.
Si en este ejercicio en el paso 3 hacemos las tangentes interiores y exteriores obtenemos 4 circunferencias. Para simplificar, en los siguientes ejercicios haremos generalmente solo las tangentes exteriores.
Dadas 2 circunferencias amarillas a b y un punto P, se trata de hacer todas las circunferencias tangentes a ab y que pasen por P. Cogemos como centro de inversión el punto P y haciendo una recta tangente a una de las circunferencias, por ejemplo a la b, tenemos el radio de la circunferencia de autoinversión auto (en verde) y hacemos centro en P tomando como radio el tamaño de esa tangente. La inversa de b es ella misma y la de a es f. Las tangentes exteriores t1 t2 a las dos inversas f b tienen como inversas e (en verde) d (en azul). Las tangentes interiores t3 t4 tienen como inversas m (en rojo) c (en siena).
Las circunferencias e d m c son las distintas soluciones.
Circunferencia tangente a otras 2 a, b, y que pasa por un punto P
Este es el mismo ejercicio que el anterior pero en el paso 3 hacemos solo las tangentes exteriores, por lo que obtenemos 2 circunferencias.
Escogemos el centro de inversión: P y la circunferencia de autoinversión: auto
Hacemos las inversas de los datos: b’ y a que se autotransforma.
Tangentes comunes a las inversas: t1 y t2
Inversas de las tangentes: m y n, que son la solución.
Circunferencia tangente a una recta y que pase por 2 puntos.
Circunferencia tangente a 1 recta a, y que pase por 2 puntos P y O.
Escogemos el centro de inversión: O y la circunferencia de autoinversión: auto
Hacemos las inversas de los datos: a’ y P’
Tangentes comunes a las inversas: t1 y t2
Inversas de las tangentes: m y n, que son la solución.
Circunferencias tangentes a otra y que pasa por dos puntos.
Circunferencias n, m tangentes a otra c, y que pasen por 2 puntos P, O.
Escogemos el centro de inversión: O y la circunferencia de autoinversión: auto
Hacemos las inversas de los datos: P’ y c, que se autotransforma.
Tangentes comunes a las inversas: t1 y t2
Inversas de las tangentes: m y n, que son la solución.
Circunferencia tangente a otra y a una recta y que pase por un punto.
Circunferencia tangente a otra c y a una recta a y que pasa por un punto P.
Escogemos el centro de inversión: P y la circunferencia de autoinversión: auto
Hacemos las inversas de los datos: a’ y c que se autotransforma.
Tangentes comunes a las inversas: t1 y t2
Inversas de las tangentes: m y n, que son la solución.
Circunferencia que pasa por un punto y es tangente a dos rectas.
Circunferencias tangentes a 2 rectas a, b, y que pasen por un punto P.
Escogemos el centro de inversión: P y la circunferencia de autoinversión: auto
Hacemos las inversas de los datos: a’ y b’
Tangentes comunes a las inversas: t1 y t2
Inversas de las tangentes: m y n, que es la solución.
El problema de Apolonio por inversión: circunferencias tangentes a otras tres.
Se trata de hacer las circunferencias tangentes a 3 dadas, para ello sumamos o restamos el radio de una de ellas a las otras. El ejercicio tiene por tanto 8 soluciones según sumemos el radio o lo restemos a las otras circunferencias en las 4 posibilidades: + -, - +, + +, - -. Sumaremos 2 posibilidades a cada una de las 4 opciones si hacemos las tangentes exteriores o interiores a las inversas en cada una de las opciones.
Dadas las 3 amarillas abc, aumentamos el radio de una (de a ) a otra (así b se transforma en b’) y lo restamos a 2 de ellas (c se transforma en c’ y a se transforma en a’), hasta que quede convertida en un punto una de ellas (a’), convirtiendo el ejercicio prácticamente en uno parecido a los anteriores.
Se coge a’ como centro de inversión y se hacen las tangentes (h) a b’.
La distancia h es el radio de la circunferencia de autoinversión, para que se transforme en sí misma. La inversa de c’ es i.
Hacemos las tangentes interiores t1, t2 a las dos inversas (b’ e i) y las inversas de estas tangentes son y, x.
Aumentando el radio que transformaba a en a’, tenemos la solución x’ y’.
Dadas las circunferencias m n ñ, para hallar las tangentes, restamos el radio de una de ellas (de m) a las demás. Cogemos el centro de m transformado en el punto C como centro de inversión y hacemos la circunferencia de autoinversión “auto”. Las inversas de h es ella misma y de g es v. Las tangentes exteriores a las inversas son a b.
Las inversas de las tangentes son t s. Ampliando el radio en ambas tenemos p q, circunferencias tangentes a las dadas.
Sintetizando y siguiendo el esquema de las anteriores:
Circunferencias dadas: abc.
Las circunferencias bc se transforman en b’ c’ al sumarles el radio de a, mientras que ésta se transforma en un punto.
Escogemos el centro de inversión: centro de a y la circunferencia de autoinversión: auto.
Tangentes comunes exteriores a las inversas: t1 y t2
Inversas de las tangentes: x y.
Ampliamos el radio de a a y tenemos x’. Reducimos el radio de a a y y tenemos y’.
Circunferencias dadas: abc.
Las circunferencias bc se transforman en c’ b’ al sumarles y restarles respectivamente el radio de a, mientras que ésta se transforma en un punto.
Escogemos el centro de inversión: centro de a y la circunferencia de autoinversión: auto.
Tangentes comunes interiores a las inversas: t1 y t2
Inversas de las tangentes: n’ m’.
Ampliamos el radio de a a m’ y tenemos m. Reducimos el radio de a a n’ y tenemos n.
Problema combinado de tangencias por inversión y de arco capaz.
Si nos movemos por el segmento azul, se pide calcular el punto desde el cual observamos el segmento AB bajó un ángulo máximo.
Construimos una circunferencia de autoinversión, en el dibujo en color rosa. Para mayor facilidad en la ejecución del ejercicio hacemos que esta circunferencia sea tangente a la recta dada azul. Calculamos la inversa de esta recta que es la circunferencia del centro F y diámetro EA. Calculamos también el inverso del punto B, que es B’.
Hacemos las tangentes B’I y B’Kdesde este punto B’ a la circunferencia de diámetro EA y tenemos que las inversas de estas tan gentes son las dos circunferencias tangentes a la recta azul (en el dibujo en color verde). Los puntos de tangencia de estas circunferencias con la recta azul son los puntos desde los que se ve el mayor ángulo el segmento AB.
Podemos desplazar el punto N y comprobar efectivamente que desde cualquier punto de la recta distinto se ve el segmento bajo un ángulo menor.
Según el arco capaz, todos los puntos de la circunferencia verde comprenden el segmento bajo el mismo ángulo, esto quiere decir que si N se desplaza por la circunferencia verde el ángulo es invariable. Para verificar que esto es cierto se ha cogido un punto cualquiera O de la circunferencia desde el que se han trazado dos rectas a los puntos AB, observamos que las dos líneas OA y OB forman también el mismo ángulo 35,04°.
Es por lo que seguimos los siguientes pasos:
1- Escoger un punto de los datos como centro de inversión y cualquier radio para la circunferencia de autoinversión.
2- Hacer las inversas de los datos.
3- Hacer las tangentes comunes a las inversas.
4- Hacer las inversas de las tangentes.
Circunferencia tangente a otras dos y que pase por un punto.
Si en este ejercicio en el paso 3 hacemos las tangentes interiores y exteriores obtenemos 4 circunferencias. Para simplificar, en los siguientes ejercicios haremos generalmente solo las tangentes exteriores.
Dadas 2 circunferencias amarillas a b y un punto P, se trata de hacer todas las circunferencias tangentes a ab y que pasen por P. Cogemos como centro de inversión el punto P y haciendo una recta tangente a una de las circunferencias, por ejemplo a la b, tenemos el radio de la circunferencia de autoinversión auto (en verde) y hacemos centro en P tomando como radio el tamaño de esa tangente. La inversa de b es ella misma y la de a es f. Las tangentes exteriores t1 t2 a las dos inversas f b tienen como inversas e (en verde) d (en azul). Las tangentes interiores t3 t4 tienen como inversas m (en rojo) c (en siena).
Las circunferencias e d m c son las distintas soluciones.
Circunferencia tangente a otras 2 a, b, y que pasa por un punto P
Este es el mismo ejercicio que el anterior pero en el paso 3 hacemos solo las tangentes exteriores, por lo que obtenemos 2 circunferencias.
Escogemos el centro de inversión: P y la circunferencia de autoinversión: auto
Hacemos las inversas de los datos: b’ y a que se autotransforma.
Tangentes comunes a las inversas: t1 y t2
Inversas de las tangentes: m y n, que son la solución.
Circunferencia tangente a una recta y que pase por 2 puntos.
Circunferencia tangente a 1 recta a, y que pase por 2 puntos P y O.
Escogemos el centro de inversión: O y la circunferencia de autoinversión: auto
Hacemos las inversas de los datos: a’ y P’
Tangentes comunes a las inversas: t1 y t2
Inversas de las tangentes: m y n, que son la solución.
Circunferencias tangentes a otra y que pasa por dos puntos.
Circunferencias n, m tangentes a otra c, y que pasen por 2 puntos P, O.
Escogemos el centro de inversión: O y la circunferencia de autoinversión: auto
Hacemos las inversas de los datos: P’ y c, que se autotransforma.
Tangentes comunes a las inversas: t1 y t2
Inversas de las tangentes: m y n, que son la solución.
Circunferencia tangente a otra y a una recta y que pase por un punto.
Circunferencia tangente a otra c y a una recta a y que pasa por un punto P.
Escogemos el centro de inversión: P y la circunferencia de autoinversión: auto
Hacemos las inversas de los datos: a’ y c que se autotransforma.
Tangentes comunes a las inversas: t1 y t2
Inversas de las tangentes: m y n, que son la solución.
Circunferencia que pasa por un punto y es tangente a dos rectas.
Circunferencias tangentes a 2 rectas a, b, y que pasen por un punto P.
Escogemos el centro de inversión: P y la circunferencia de autoinversión: auto
Hacemos las inversas de los datos: a’ y b’
Tangentes comunes a las inversas: t1 y t2
Inversas de las tangentes: m y n, que es la solución.
El problema de Apolonio por inversión: circunferencias tangentes a otras tres.
Se trata de hacer las circunferencias tangentes a 3 dadas, para ello sumamos o restamos el radio de una de ellas a las otras. El ejercicio tiene por tanto 8 soluciones según sumemos el radio o lo restemos a las otras circunferencias en las 4 posibilidades: + -, - +, + +, - -. Sumaremos 2 posibilidades a cada una de las 4 opciones si hacemos las tangentes exteriores o interiores a las inversas en cada una de las opciones.
Dadas las 3 amarillas abc, aumentamos el radio de una (de a ) a otra (así b se transforma en b’) y lo restamos a 2 de ellas (c se transforma en c’ y a se transforma en a’), hasta que quede convertida en un punto una de ellas (a’), convirtiendo el ejercicio prácticamente en uno parecido a los anteriores.
Se coge a’ como centro de inversión y se hacen las tangentes (h) a b’.
La distancia h es el radio de la circunferencia de autoinversión, para que se transforme en sí misma. La inversa de c’ es i.
Hacemos las tangentes interiores t1, t2 a las dos inversas (b’ e i) y las inversas de estas tangentes son y, x.
Aumentando el radio que transformaba a en a’, tenemos la solución x’ y’.
Dadas las circunferencias m n ñ, para hallar las tangentes, restamos el radio de una de ellas (de m) a las demás. Cogemos el centro de m transformado en el punto C como centro de inversión y hacemos la circunferencia de autoinversión “auto”. Las inversas de h es ella misma y de g es v. Las tangentes exteriores a las inversas son a b.
Las inversas de las tangentes son t s. Ampliando el radio en ambas tenemos p q, circunferencias tangentes a las dadas.
Sintetizando y siguiendo el esquema de las anteriores:
Circunferencias dadas: abc.
Las circunferencias bc se transforman en b’ c’ al sumarles el radio de a, mientras que ésta se transforma en un punto.
Escogemos el centro de inversión: centro de a y la circunferencia de autoinversión: auto.
Tangentes comunes exteriores a las inversas: t1 y t2
Inversas de las tangentes: x y.
Ampliamos el radio de a a y tenemos x’. Reducimos el radio de a a y y tenemos y’.
Circunferencias dadas: abc.
Las circunferencias bc se transforman en c’ b’ al sumarles y restarles respectivamente el radio de a, mientras que ésta se transforma en un punto.
Escogemos el centro de inversión: centro de a y la circunferencia de autoinversión: auto.
Tangentes comunes interiores a las inversas: t1 y t2
Inversas de las tangentes: n’ m’.
Ampliamos el radio de a a m’ y tenemos m. Reducimos el radio de a a n’ y tenemos n.
Problema combinado de tangencias por inversión y de arco capaz.
Si nos movemos por el segmento azul, se pide calcular el punto desde el cual observamos el segmento AB bajó un ángulo máximo.
Construimos una circunferencia de autoinversión, en el dibujo en color rosa. Para mayor facilidad en la ejecución del ejercicio hacemos que esta circunferencia sea tangente a la recta dada azul. Calculamos la inversa de esta recta que es la circunferencia del centro F y diámetro EA. Calculamos también el inverso del punto B, que es B’.
Hacemos las tangentes B’I y B’Kdesde este punto B’ a la circunferencia de diámetro EA y tenemos que las inversas de estas tan gentes son las dos circunferencias tangentes a la recta azul (en el dibujo en color verde). Los puntos de tangencia de estas circunferencias con la recta azul son los puntos desde los que se ve el mayor ángulo el segmento AB.
Podemos desplazar el punto N y comprobar efectivamente que desde cualquier punto de la recta distinto se ve el segmento bajo un ángulo menor.
Según el arco capaz, todos los puntos de la circunferencia verde comprenden el segmento bajo el mismo ángulo, esto quiere decir que si N se desplaza por la circunferencia verde el ángulo es invariable. Para verificar que esto es cierto se ha cogido un punto cualquiera O de la circunferencia desde el que se han trazado dos rectas a los puntos AB, observamos que las dos líneas OA y OB forman también el mismo ángulo 35,04°.
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