Tangencias y enlaces

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Tangencias

Para calcular las tangentes a una circunferencia desde un punto exterior P, se une el punto con el centro de la circunferencia O y se hace la mediatriz de ese segmento, en el punto medio se hace centro con la distancia desde ese punto, centro de la circunferencia azul, hasta el centro de la circunferencia amarilla de centro O.
Donde la circunferencia azul corta a la circunferencia amarilla dada tenemos los puntos de tangencia T1 T2 que unidos al punto exterior P nos determina las tangentes a la circunferencia amarilla desde ese punto.


Para calcular las circunferencias tangentes a una recta y que al mismo tiempo pasen por un punto M con un radio dado r, se hace una paralela al segmento dado con ese radio y desde el punto dado M y con el radio dado r se hace un arco que corta a la paralela construida en dos puntos, que son los centros O O de las circunferencias buscadas. Desde esos dos puntos se hacen perpendiculares al segmento dado que lo cortan en los puntos de tangencia C D.

Para calcular una recta tangente a una circunferencia de centro O paralela a otra dada a, se hace centro en la circunferencia O y un arco que corte a la recta dada a, en los puntos de intersección del arco y la recta dada a se hace centro con el mismo radio y construimos la mediatriz p que corta a la circunferencia dada en T. Por T hacemos una recta paralela b a la dada a.

Para construir las circunferencias tangentes a tres rectas, se hacen las bisectrices que en cada intersección, la intersección de estas bisectrices nos determina los centros de las cuatro circunferencias. Sólo dibujamos estas circunferencias allí donde haya huecos comprendidos entre tres líneas, ya que los que están comprendidos entre dos líneas admiten infinitas circunferencias que sean tangentes a las dos.

Para construir una recta tangente a una curva m en un punto dado O, se hace una circunferencia de radio cualquiera con centro en el punto O. Está circunferencia amarilla corta a la curva en el punto P, se hace centro en este punto, con el radio PO hasta que corta a la curva en el punto Q. Hacemos centro en el punto O y con él radio OQ hacemos una circunferencia c que corta a la anterior b en el punto T. Unimos el punto T con O y tenemos que esta recta es la tangente a la curva m en el punto O.

Dadas dos rectas concurrentes ñ p y un punto interior M, calcular una circunferencia tangente a las dos rectas y que al mismo tiempo pase por M. Se hace la bisectriz v y por un punto cualquiera de ella se hace centro O y construimos una circunferencia amarilla tangente a las dos rectas dadas. Unimos el punto de intersección D de las rectas dadas con M mediante la recta s y está corta a la circunferencia amarilla en el punto C. Hacemos por M una recta paralela al segmento CO hasta que corta a la recta v en el punto G. Hacemos centro en este punto G con el radio GM y tenemos la circunferencia que es tangente a las dos rectas dadas ñ p y que al mismo tiempo pasa por el punto dado M. Si se quiere saber cuáles son los puntos de tangencia con las rectas, basta con hacer perpendiculares a ellas desde el punto G. En la intersección de las perpendiculares con las rectas dadas tenemos los puntos de tangencia.
La resolución del ejercicio se basa en que las dos circunferencias son homotéticas y el centro de la homotecia es la intersección de las rectas dadas ñ p. De la misma forma son homotéticos los segmentos OC MG.


Dada una circunferencia amarilla de centro O, y un punto exterior P, determinar una circunferencia que sea tangente a la circunferencia dada en un punto de la misma T y que al mismo tiempo pase por P.
Se une el centro de la circunferencia O con T mediante una recta que se prolonga. Se une el punto P con T y se hace de la mediatriz de este segmento, donde está corta a la recta OT tenemos el centro S1 de la nueva circunferencia rosa que pasa por los dos puntos dados P T y al mismo tiempo es tangente a la circunferencia amarilla dada de centro O.


En este ejercicio recién realizado se constata uno de los primeros principios que deben ser estudiados en las tangencias, a saber, que las circunferencias tangentes (en el dibujo la circunferencia amarilla y azul) tienen alineados sus centros con el punto de tangencia A.

Dadas dos circunferencias (una la correspondiente al círculo de color rosa y la otra a la naranja) construir las tangentes exteriores r s a las mismas.
Se hace centro en O, centro del círculo naranja y se hace una circunferencia cuyo radio es el del círculo naranja menos el del círculo rosa. Se hacen las tangentes desde el centro del círculo rosa a la última circunferencia construida mediante el procedimiento explicado en el primer ejercicio. Se unen los puntos de tangencia B C con el centro O del círculo naranja y donde corten a la circunferencia naranja tenemos los puntos de tangencia por los cuales hacemos rectas paralelas r s a las tangentes anteriores m n.
Si queremos saber los puntos de tangencia exactos con el círculo rosa, por el centro de esta circunferencia haremos paralelas a las rectas OB OC.


Nótese la analogía entre este ejercicio y el de la homotecia, las dos circunferencias dadas a b son homotéticas y sus tangentes se cortan en el centro de homotecia. Las rectas tangentes d e concurrentes en el centro de homotecia serán paralelas a las rectas p ñ que pasan por el centro S y que al mismo tiempo son tangentes a la circunferencia v debido a que el radio de la circunferencia de centro S se mantiene constante a lo largo de estas rectas paralelas.

Para hacer las tangentes interiores a dos circunferencias dadas (las correspondientes a los círculos de color amarillo y rosa) hacemos centro en la circunferencia rellena de color amarillo con el radio de esta sumado al de la otra dada. Con este radio hacemos el círculo azul. Desde el del centro del círculo rosa calculamos las tangentes m n al círculo azul y unimos los puntos de tangencia B C con el centro del círculo amarillo. En la intersección de estas rectas con la circunferencia de círculo amarillo obtenemos los puntos D E por donde hacemos paralelas a las tangentes m n. Estas rectas paralelas c r son las tangentes interiores comunes a las dos circunferencias.

En síntesis, se puede deducir que cuando las tangentes comunes son interiores hemos de sumar el radio menor al radio mayor de las circunferencias dadas, mientras que cuando las tangentes son exteriores debemos aplicar la diferencia.
El siguiente paso general para estos ejercicios es hacer las tangentes a la nueva circunferencia desde el centro del círculo menor y esa va a ser la dirección de las tangentes buscadas.


Construir una recta tangente t a una circunferencia a por un punto P de la misma.
Se construye una circunferencia cualquiera b cuyo centro sea el punto de tangencia P. Esta circunferencia corta a la dada en el punto H. En este punto hacemos otra circunferencia c con el mismo radio que corta a la circunferencia b en el punto K. Con centro en este punto hacemos otra circunferencia d del mismo radio. La intersección de las circunferencias c d produce dos puntos P T y son los que determinan la recta tangente a la circunferencia a.


Dadas las circunferencias a b y el punto C perteneciente a la circunferencia a, construir las circunferencias tangentes a ambas y que pasen por ese punto.
Los centros de las circunferencias buscadas incidirán en la recta i que pasa por el centro de la circunferencia a y el punto C. Hacemos en el centro C una circunferencia de igual dimensión a la b. Los puntos de corte con la recta i, los unimos con el centro de la circunferencia b y a continuación hacemos las mediatriz es de estos dos segmentos. Donde estas mediatrices m n cortan a la recta i tenemos los centros de las dos circunferencias buscadas.


Dada una recta c, un punto incidente A sobre la misma y un punto exterior B, determinar una circunferencia que siendo tangente a la recta en el punto incidente A pase también por el punto exterior B.
Unimos los dos puntos dados A B con un segmento del que hacemos su mediatriz m y en la intersección de esta recta con la perpendicular p a la recta dada c por A tenemos el centro O de la circunferencia buscada.


Construir la circunferencia tangente a dos rectas dadas b c en un punto A de una de ellas.
Se hace la bisectriz b de ambas rectas y donde corta a la perpendicular p por el punto dado A obtenemos el punto G, que es el centro de la circunferencia de radio GA tangente a ambas de incidente en el punto A.


Construir las circunferencias tangentes a otra dada c por un punto de la misma B y al mismo tiempo que se han tangentes a una recta a.
Hacemos una recta roja que pase por el centro de la circunferencia c y por B. En B hacemos la tangente t a la circunferencia c, construimos las bisectrices de las rectas t a y donde estas cortan a la recta roja tenemos los centros de las circunferencias buscadas.





Problema de Apolonio
Se trata de calcular las circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas, de forma general este ejercicio puede tener hasta ocho soluciones.
Primero calculamos los centros de homotecia de cada par de circunferencias, éstos se obtienen haciendo las tangentes comunes interiores y exteriores a ambas, la intersección de las tangentes son los centros de homotecia.
Una vez que tenemos los centros de homotecia hacemos rectas incidentes en los centros de homotecia que están alineados tres a tres, según el teorema de Monge.

Teorema de Monge
Si a 3 circunferencias se le hacen las tangentes comunes 2 a 2, los 3 puntos de intersección de cada par de tangentes están alineados. El teorema es válido para las tengentes exteriores e interiores, indistintamente y combinadas.







Retomando el ejercicio de Apolonio, se hacen los polos de esas rectas que alinean los centros de homotecia. Para calcular el polo basta con hacer una perpendicular por el centro de la circunferencia a la recta que alinean los centros de homotecia, desde el punto de intersección se hace una tangente a la circunferencia y por el punto de tangencia una paralela a la recta anterior, está corta a la perpendicular en un punto que es el polo.
Por último calculamos el centro radical de las tres circunferencias y lo unimos con los polos.

El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos desde los que todas las tangentes a las circunferencias son iguales. Por ejemplo el punto O, o cualquier punto de p que es el eje radical de a b, se tiene que desde él se pueden trazar las tangentes a ab y son siempre iguales, así, desde O se tiene que t1= t2.
Para calcular el eje radical de 2 circunferencias a b, se hace otra auxiliar c que corte a ambas, por los puntos de intersección se trazan las secantes m n, y en su punto de corte O se hace una perpendicular p a la línea u que une los dos centros de ab. Op es el eje radical de a b.
Para calcular el centro radical de 3 circunferencias a b h se hace el eje radical de ab y el de bh. La intersección de los dos ejes radicales er1 y er2 es el centro radical CR o punto desde el que todas las tangentes a las circunferencias son iguales: t1=t2=t3=t4.





Siguiendo con el problema de Apolonio, el segmento que une el centro radical con cada polo determina en su intersección con cada circunferencia el punto de tangencia de la circunferencia buscada.
Una vez que tenemos los 3 puntos de tangencia, basta con hacer una circunferencia que pase por los 3 puntos, para ello hacemos un triángulo que pase por los 3 puntos y la intersección de las mediatrices de los lados nos determinan el centro de la circunferencia que es tangente a las tres.

Enlaces

Dadas dos rectas paralelas a b, determinar una circunferencia tangente a ellas.
Se hace una línea perpendicular t a las rectas dadas y del segmento que determina la intersección con ellas, se hace la mediatriz m. La intersección de esta mediatriz con el segmento perpendicular es el centro de la circunferencia c tangente a las dos.


Dadas dos rectas a b determinar el enlace de ambas con un radio dado r.
Se hacen paralelas m n a las dos rectas dadas a una distancia del radio dado. La intersección de estas dos rectas m n nos determina un punto que es el centro del arco que enlaza a las rectas dadas a b.



Dada una circunferencia a y una recta b determinar el enlace de ambas mediante un radio dado r.
Se hace centro en la circunferencia dada con el radio de la misma sumado al radio dado r y obtenemos el arco m.
Se hace una recta paralela g a la dada b a una distancia del radio dado r. La intersección del arco m y la recta g es el centro de la nueva circunferencia tangente a la circunferencia a y a la recta b.


Enlazar dos rectas con arcos de sentido contrario, dado el radio de uno de los arcos y los dos puntos de tangencia.
Se trazan las paralelas z v a las rectas con el radio dado r y las perpendiculares p t por los puntos de tangencia dados. En la intersección de las perpendiculares y las paralelas tenemos 2 puntos que los unimos mediante un segmento del que hacemos su mediatriz m. Esta mediatriz corta a la perpendicular p por el punto de tangencia en el centro K. Alineamos este centro K con H, que es la intersección de la perpendicular t con la paralela v y obtenemos el radio del otro arco, en amarillo.


Dada una recta p y una circunferencia a determinar un arco que enlace a ambas conocido el punto de tangencia H.
Por H se traza una perpendicular a la recta p y por encima de este punto se toma el radio de la circunferencia dada obteniendo el punto O. Unimos este punto O con el centro de la circunferencia T y hacemos la mediatriz de este segmento que corta a la vertical que pasa por el punto H en el punto Y. Este es el centro del arco que enlaza la circunferencia y la recta por el punto H.


Para enlazar dos circunferencias con arcos de radio dado tenemos varios casos:
En el primer caso con el fondo verde enlazamos con una curva cóncava las dos circunferencias, para ello sumamos el radio dado a las dos circunferencias y obtenemos el centro P del arco que enlaza a ambas.
En el segundo caso enlazamos una circunferencia por dentro y otro por fuera, a una le sumamos el radio dado y otra se lo restamos, la intersección de las dos nuevas circunferencias nos da el centro del arco P que enlaza a ambas.
En el tercer caso con fondo de color blanco tenemos un arco que enlaza a dos circunferencias de forma convexa, en este caso, dado el radio, lo que hacemos es restar de este radio los radios de las circunferencias dadas. La intersección de los dos arcos nos determina el centro de la circunferencia que enlaza a ambas.
En el último caso con fondo de color rosa se trata de enlazar dos circunferencias estando una en el interior de la otra. Para ello dado el radio se lo sumamos a una de ellas mientras que cogemos el radio de la otra y le restamos el radio dado, la intersección de las dos nuevas circunferencias nos determina el centro del arco P que enlaza a la circunferencia amarilla y azul.



Aquí tenemos un ejemplo más detallado del caso ya resuelto, enlazar dos circunferencias con un arco convexo y con un radio dado r.
Al radio dado r le restamos los radios de las circunferencias. Haciendo centro en las circunferencias hacemos dos arcos que nos determinan el centro O3 de la nueva circunferencia de color rosa que enlaza a ambas.





Construir un conjunto de arcos tangentes sobre una línea poligonal, tomando centro sobre los vértices de la misma.
El centro del primer arco está en la mediatriz del segmento LM. Se puede coger cualquier punto como centro de esta mediatriz, si tomamos el punto O como centro los demás quedan ya determinados. Hacemos el arco de centro O y radio OM. La siguiente línea es la recta b, hacemos una recta OM y la prolongamos hasta que corte a la mediatriz del segmento b en el punto P. para determinar el centro del siguiente arco operamos igual, construimos la recta PN y la prolongamos hasta que corta a la mediatriz del siguiente segmento en el punto Q, etcétera.


Enlazar dos rectas paralelas con arcos de sentido opuesto pero iguales, dados los puntos de enlace C L.
Se hacen por los puntos C L perpendiculares a las rectas a b. Se une el punto C y L Y se determina su punto medio U. Hacemos la mediatriz de LU y de UC. La intersección de las mediatrices con las verticales nos determina los centros de los arcos buscados.



Unir dos líneas secantes con arcos de distintos radio dados los dos puntos de tangencia T1 T2.
Se hacen las rectas perpendiculares por ambos puntos de tangencia y cogemos como centro un punto cualquiera de la perpendicular por T1. Hacemos el arco de color rosa que corta a la recta b en un punto. Cogemos la distancia O-T1 y haciendo centro en el punto T2 determinamos sobre la vertical el punto H. Hacemos la mediatriz del segmento HO que corta a la vertical en el punto K. Este es el centro del arco amarillo que enlaza la recta de con el arco de color rosa.


Enlazar dos rectas paralelas con arcos de distintos radio e igual sentido dados los puntos de tangencia T1 T2.
Por los puntos de tangencia se hacen perpendiculares a las dos rectas dadas y uniendo mediante un segmento los dos puntos de tangencia se toma el punto E que es el que pasa por la mediatriz o punto medio. Por éste punto se pasa una recta paralela h a las dos dadas y se toma la distancia T1-E desde el punto E obteniendo de esta forma un punto sobre la recta h. Por éste punto hacemos una recta perpendicular a T1 T2 que corta a la vertical por T1 en el punto O. Este es el centro del arco amarillo y su punto de tangencia respecto al azul lo determina la intersección de la línea OP con la recta h.